Պարապունք 48

Թեմա՝ Սեղանի մակերեսը։

Բարձրությամբ և անկյունագծով սեղանը բաժանվում է երեք եռանկյունների: Սեղանի մակերեսը հաշվում ենք, որպես այդ եռանկյունների մակերեսների գումար:

S_ABCD=S_ABD+S_DBC S_ABCD=AD⋅BE/2+BC⋅DF/2=AD⋅BE/2+BC⋅BE/2=(AD+BC)⋅BE/2

Եթե սեղանի զուգահեռ կողմերը (հիմքերը) նշանակենք a և b, իսկ բարձրությունը՝ h, ապա՝

S_սեղան=a+b/2⋅h

Ուշադրություն

Նշենք մի քանի կարևոր հետևանքներ:

1. Եթե եռանկյունների բարձրությունները հավասար են, ապա նրանց մակերեսները հարաբերվում են ինչպես հիմքերը:

2. Եթե եռանկյունների հիմքերը հավասար են, ապա նրանց մակերեսները հարաբերվում են ինչպես բարձրությունները:

3. Եթե եռանկյունների բարձրություններն ու հիմքերը հավասար են, ապա եռանկյունները հավասարամեծ են: Օրինակ՝ միջնագիծը եռանկյունը բաժանում է երկու հավասարամեծ եռանկյունների:

Առաջադրանքներ։

1․ Սեղանի հիմքերը 3 մ և 7 մ են, իսկ բարձրությունը՝ 6 մ: Հաշվիր սեղանի մակերեսը:

S=(3+7)/2 * 6=5*6=30մ²

2․ Ո՞ր հատվածի երկարությունն է հավասար սեղանի հիմքերի կիսագումարին:

• միջնուղղահայացի
• միջին գծի
• անկյունագծի

3․Գտնել AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա) AD=21սմ, BC=17սմ, BH բարձրությունը 7սմ է,
S_ABCD = (AD+BC)2 * BH=(21+17)/2 * 7 = 19*7= 133սմ²

բ) ∠D=30, AD=10սմ, BC=2սմ, CD=8սմ,
եթե տանենք սեղանի բարձրությունը, ապա կստացվի ուղղանկյուն եռանկյուն, որտեղ 30 աստիճանի դիմացի էջը, որը սեղանի բարձրությունն է, հավասար է ներքնաձգի կեսին, այսինք ն h=8/2=4
S=(AD+BC)/2*h=(10+2)/2*4=6*4=24սմ²

Պարապունք 47

Թեմա՝ Եռանկյան մակերեսը (կրկնողություն)։

Առաջադրանքներ։

1․Օգտվելով գծագրից, գտնել ABD, BDC և ABC եռանկյունների մակերեսները։

16×12=

2․Օգտվելով գծագրից, գտնել ABD, ADC և ABC եռանկյունների մակերեսները։

135×2

Օգտվելով գծագրից, գտնել ABC եռանկյան մակերեսը։

4. ABC եռանկյան մեջ ∠C=135^o, AC=6 դմ, իսկ BD բարձրությունը 2 դմ է։ Գտնել ABD եռանկյան մակերեսը։

5. Երկու եռանկյան բարձրությունները հավասար են, իսկ նրանցից մեկի հիմքը երկու անգամ փոքր է մյուսի հիմքից։ Գտնել այդ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը։

Պարապունք 46

Թեմա՝ Եռանկյան մակերեսը։

Առաջադրանքներ։

1․ Գտնել 10 սմ ներքնաձիգով հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը։
25սմ²

2․ ABC եռանկյան մեջ ∠C=135^o, AC= 6 դմ, իսկ BD բարձրությունը 2 դմ է։ Գտնել ABD եռանկյան մակերեսը։
8սմ²

3․ Համեմատել այն երկու եռանկյունների մակերեսները, որոնց տրոհվում է տրված եռանկյունն իր միջնագծով։
=

4․ ABCD ուղղանկյուն BD անկյունագիծը 12 սմ է։ B գագաթի հեռավորությունը AC ուղղից հավասար է 4 սմ։ Գտնել ABC եռանկյան մակերեսը։
24սմ

Լրացուցիչ՝ ֆլեշմոբի խնդիրները։

Պարապմունք 24.

Թեմա՝ Եռանկյան հավասարության հայտանիշ (I, II, III)
Խնդիրներ դասագրքից
124, 125, 130, 136, 137 (Էջ՝ 46)

124․
Եթե CD =BD անկյուն 1 համասար է անկյուն 2, հետևաբար համասար է անկյուն 3, ինչ ապացուցում է որ եռեանկյունը հավասարասյուն է։

125․
180-150=50⁰ անկյուն 2 =50

130․
Դիտարկել ∆ABC <CED=<DCE քանի որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են։
Դիտարկել ∆DCE <ACB=<BAC քանի որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են։
<ACB=<DCE քանի որ հակադիր անկյուներեն են։
Քանի որ <CED=<DCE, <ACB=<BAC, <ACB=<DCE հետևաբար <BAC=<CED

136.
<BAD=<DAC
<BDA=<CDA
Դիտարկել ∆ABD և ∆ADC
Ըստ 2-րդ հայտանիշի ∆ABD=∆ADC
Հետևաբար CD=BD

137.
<C=<B
CO=BO
<COT=<POB քանի որ հակադիր անկյուներեն։
Դիտարկել ∆COT և ∆POB
ըստ երկրոդ հայտանիշի ∆COT=∆POB
Հետևաբար OP=OT, <P=<T

Պարապմունք 21

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1.Որ մարմինն է կոչվում պրիզմա:

Պրիզմա կոչվում է այն բազմանիստը, որի երկու նիստերը զուգահեռ հարթություններում ընկած հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մնացած նիստերը ուղղանկյուններ են:

2.GEOGEBRA ծրագրով գծիր պրիզմա:

3.Որ նիստերն են կոչվում հիմքեր, կողմնային նիստեր:

Զուգահեռ հարթություններում գտնվող հավասար նիստերը կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր:

4.Որ պրիզման է կոչվում ուղիղ պրիզմա։

Եթե պրիզմայի կողմնային կողերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա այն կոչվում է ուղիղ պրիզմա: 

5.GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուղիղ պրիզմա:

6.Որ պրիզման է կոչվում թեք պրիզմա։

Իսկ երբ կողմնային կողերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, պրիզման կոչվում է թեք:

7․GEOGEBRA ծրագրով գծիր թեք պրիզմա:

8․Գտեք վեցանկյան պրիզմայի կողերի, գագaթների, նիստերի քանակը,GEOGEBRA ծրագրով գծեք վեցանկյան պրիզմա:

n=6
3×6=18(կող)
2×6=12(գագաթ)
6+2=8(նիստ)

9․Կարող է պրիզմայի կողերի թիվը լինել՝

ա) 13 բ) 14 գ) 18։ Պատասխանը հիմնավորել։

10․Կարող է պրիզմայի նիստերի թիվը լինել՝

ա) 13 բ)14 գ) 18։ Պատասխանը հիմնավորել։

11․ Ինչ բազմանկյուն է պրիզմայի հիմքը, եթե պրիզման ունի ՝

ա) 15 կող բ)11 նիստ գ) 10 գագաթ։Posted by

Պարապմունք 19.

Պարապմունք 19.
Թեմա՝ Տարածական մարմինները, Զուգահեռանիստ

Այն պատկերը, որի ոչ բոլոր կետերն են ընկած միևնույն հարթության մեջ, կոչվում է տարածական պատկեր կամ տարածական մարմին։

Տարածության մեջ այդ մարմինները սահմանափակված են մաթերևույթով, որը կազմված է միայն բազմանկյուններից։ Այդպիսի մարմինները կոչվում են  բազմանիստեր։

Բազմանիստի մակերևույթը կազմող բազմանկյունները կոչվում են նիստեր, դրանց կողմերը բազմանիստի կողեր, գագաթները՝ բազմանիստի գագաթներ։

Զուգահեռանիստ
Զուգահեռանիստ կոչվում է այն բազմանիսը, որի բոլոր 6 նիստերը զուգահեռագծեր են, տես նկարը՝


Զուգահեռանիստն ունի 6 նիստ, 8 գագաթ և 12 կող։

Զուգահեռանիստի ընդհանուր կող ունեցող նիստերը կոչվում են կից կողեր, իսկ ընդհանուր կողեր չունեցող նիստերը՝ հանդիպակաց կողեր:

Զուգահեռանիստի հիմքեր անվանում են նրա որևէ երկու հանդիպակաց նիստերը, իսկ մնացած նիստերը կոչվում են կողմնային նիստեր: 

Հիմքերին չպատկանող կողերը կոչվում են զուգահեռանիստի կողմնային կողեր: 

Նույն նիստում չգտնվող երկու գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է զուգահեռանիստի անկյունագիծ:


Հարցեր և առաջադրանքներ։

1.Ո՞ր պատկերն է կոչվում տարածական պատկեր կամ տարածական մարմին։

2.GEOGEBRA ծրագրով գծիր որևէ տարածական մարմին։

3.Ի՞նչ է բազմանիստը։

4. GEOGEBRA ծրագրով գծիր որևէ բազմանիստ, ցույց տուր կողերը, գագաթները։

5.Ո՞ր մարմինն է կոչվում զուգահեռանիստ, GEOGEBRA ծրագրով փորձիր գծել զուգահեռանիստ։

6.Զուգահեռանիստը քանի՞ կող, քանի՞ գագաթ, քանի՞ նիստ ունի, գծագրով ցույց տուր։

7.Որո՞նք են կոչվում զուգահեռանիստի հիմքեր։

8.Ո՞ր կողերն են  կոչվում զուգահեռանիստի կից կողեր, գծագրով ցույց տուր։

9.Ո՞ր կողերն են  կոչվում զուգահեռանիստի հանդիպակաց  կողեր, գծագրով ցույց տուր։

10.GEOGEBRA ծրագրով փորձիր գծել զուգահեռանիստ, գծիր զուգահեռանիստի անկյունագծերը։ Քանի՞ անկյունգիծ ունի զուգահեռանիստը։

Պարապմունք 16.

Պարապմունք 16.
Խառը խնդիրներ ուղղանկյան, զուգահեռագծի, սեղանի վերաբերյալ

1. Ուղղանկյան կից կողմերը 12սմ և  25սմ են։ Գտեք ուղղանկյան պարագիծը։
12+12+25+25=75
2. AD և BC հիմքերով սեղանի մեջ AB=CD։ Ինչպիսի՞ սեղան է  ABCD-ն։
հաոասարասրուն
3. O-ն   ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։ Ի՞նչ է   AO-ն  ABD եռանկյան համար։
միջնագիծ
4. Հավասարասրուն սեղանի սրունքը հավասար է փոքր հիմքին և մեծ հիմքից փոքր է երկու անգամ։ Գտեք սեղանի պարագիծը, եթե փոքր հիմքը 7 է։
7+7+7+14=35
5.Ուղղանկյան պարագիծը 20 սմ է: Որքա՞ն կարող է լինել այդ ուղղանկյան կողմի առավելագույն երկարությունը: Ուղղանկյան կողմերի երկարությունները արտահատվում են ամբողջ թվերով: 5+5+9=

6. Քանի՞ ուղիղ անկյուն ունի ուղղանկյուն սեղանը։
2

7. BC և   AD  հիմքերով ուղղանկյուն սեղանում  <B=90^0 է,  C կետից տարված է CK  բարձրությունը։ Ապացուցեք, որ AK=BC:

8.Ուղղանկյան պարագիծը 60սմ է։ Գտեք ուղղանկյան կողմերը, եթե նրա կից կողմերը հարաբերում են ինչպես 1:9-ի։

9. ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են О կետում։ Գտեք АОB եռանկյան պարագիծը, եթե <CAD=30^0, АC=12 սմ։

10. Գտեք ABCD ուղղանկյան պարագիծը, եթե  A  անկյան կիսորդը տրոհում է  BC կողմը   45, 6սմ և  7, 85սմ երկարությամբ հատվածների։

11. ABCD զուգահեռագծի B  գագաթից АD կողմին տարված է  BH բարձրությունը, որ AB կողմի հետ կազմում է 40 աստիճանի անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

12. Զուգահեռագծի պարագիծը 100սմ է:Նրա կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 10սմ-ով:Գտեք զուգահեռագծի կողմերը:

13. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 50 աստիճանով մեծ է մյուսից:Գտեք զուգահեռագծի անկյունները:
14. O-ն   ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է: Գտեք BO -ն և OC-ն, եթե  BD=12, AC=17։

Պարապմունք 13.

Պարապմունք 13.
Սեղանի միջին գիծ։
Սահմանում։ Սեղանի սրունքների միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է սեղանի միջին գիծ:

Թեորեմ: Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է նրանց կիսագումարին:
Ապացույցը ինքնուրույն։

Առաջադրանքներ։

1.GEOGEBRA ծրագրով գծիր հավասարասրուն սեղան,  գծիր միջին գիծը։ Հավասարասրուն սեղանը քանի՞ միջին գիծ ունի։

2.GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուղղանկյուն  սեղան,  գծիր միջին գիծը։ Ուղղանկյուն  սեղանը  քանի՞ միջին գիծ ունի։

3. Սեղանի հիմքերն  են 30սմ և 20սմ։ Գտեք սեղանի միջին գծի երկարությունը։

4. Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 4, իսկ միջին գիծը 15 սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը:

5.Ուղղանկյուն սեղանի սուր անկյունը 45 աստիճան  է ։ Գտեք մնացած անկյունները։

6. Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40 աստիճան  է:

7. Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2 մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60 աստիճան: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը:

8. M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղի մի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10 սմ և 22 սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից:

Պարապիւնք 12

Թեմա՝ Սեղան

Սահմանում։ Սեղան է կոչվում այն ուռուցիկ քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն: Տես նկարը՝

Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր:
Նկարում AD -ն և BC -ն սեղանի հիմքերն են:  

Սեղանի կողմերը, որոնք զուգահեռ չեն, կոչվում են  սրունքներ:
AB -ն և CD-ն սեղանի սրունքներն են:  

Հիշիր։
Սեղանի  անկյունների գումարը (ցանկացած քառանկյան) 360° է:
Ցանկացած սեղանի սրունքին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:

Սահմանում։
Սեղանը կոչվում է ուղղանկյուն սեղան, եթե նրա սրունքներից որևէ մեկը ուղղահայաց է հիմքերին, տես նկարը։

Նկարում AB -ն ուղղահայց է սեղանի հիմքերին։ <А, <B 90 աստիճան են։  

Սահմանում։
Սեղանը, որի սրունքները հավասար են, կոչվում է հավասարասրուն սեղան, տես նկարը։

Նկարում AB -ն և CD -ն սեղանի սրունքներն են և իրար հավասար են։
Հարցեր և առաջադրանքներ․

1. Ո՞ր պատկերն է կոչվում սեղան, գրիր սահմանումը։

Սեղան է կոչվում այն ուռուցիկ քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն: Տես նկարը՝

2. GEOGEBRA ծրագրով գծիր սեղան, նշիր սրունքները, հիմքերը, ո՞ր կողմերն են զուգահեռ։


3. Ո՞ր պատկերն է կոչվում ուղղանկյուն սեղան, գրիր սահմանումը։
4. GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուղղանկյուն սեղան, նշիր սրունքները, հիմքերը, ո՞ր սրունքն է ուղղահայաց հիմքերին, ո՞ր անկյուններն են 90 աստիճան։
5. Ո՞ր պատկերն է կոչվում հավասարասրուն սեղան, գրիր սահմանումը։
6. GEOGEBRA ծրագրով գծիր հավասարասրուն սեղան, նշիր սրունքները, հիմքերը, ո՞ր կողմերն են իրար հավասար։
7. GEOGEBRA ծրագրով գծիր սեղան, ո՞ր անկյունների գումարն է 180 աստիճան։
8. Ի՞նչի է հավասար սեղանի բոլոր անկյունների աստիճանային գումարը։
9. Նշիր ճիշտ պնդումը․
ա)Հավասարասրուն սեղանի սրունքները զուգահեռ են:
բ)Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը միշտ հավասար են:
գ)Ցանկացած սեղանի հիմքերը զուգահեռ են:
10. Նշիր ճիշտ պնդումը․ Սեղան կոչվում է այն քառանկյունը, որի
ա)կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:
բ)երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը՝ ոչ:
11. Նշիր ճիշտ պնդումը․ Սեղանը կոչվում է հավասարասրուն, եթե
ա)նրա սրունքները հավասար են:
բ)նրա սրունքները զուգահեռ են:
12. Տրված է ABCD սեղան, որտեղ <A=37°, <C=121°: Գտիր՝ <B,<D-ն։
13.Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե ∠A = 29°, ∠C = 117° է :
14. Սեղանի հիմքերի հարաբերությունը հավասար է 2:7: Հաշվիր սեղանի մեծ հիմքը, եթե նրա փոքր հիմքը հավասար է 12 սմ:

Պարապունք 9

Պարապմունք 9.
Թեմա՝ Զուգահեռագիծ

1.Զուգահեռագծի անկյուններկց մեկը 55° է: Գտիր զուգահեռագծի մյուս անկյունները:

125

2. Զուգահեռագծի մի կողմը 29 սմ է, իսկ մյուս կողմը 7 սմ-ով մեծ է նրանից: Գտիր զուգահեռագծի պարագիծը:

113

3. Զուգահեռագծի կողմերը 10 և 15 են։ Գտիր Զուգահեռագծի պարագիծը:

50

4. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը մյուսից մեծ է 30 աստիճանով։ Գտիր զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

75 105

5. ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։ AOD եռանկյան պարագիծը հավասար է 25սմ, AC=16սմ, BD=14 սմ։ Գտի՛ր BC-ն։ bc 10

6. ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է։ Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABC հավասար է եռանկյուն ACD-ին։

7. ABCD զուգահեռագծի А անկյունը 2 անգամ փոքր է B անկյունից։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

8.ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։  Գտեք BO և ОC-ն, եթե BD=12, AC=17:

9. ABCD զուգահեռագծի  A անկյան  կիսորդը  BC հատվածում հատում է k կետում  և տրոհում է  15 սմ  և 9սմ  հատվածների ։Գտի՛ր զուգահեռագծի պարագիծը ։

10. Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100 աստիճան է: